[이산수학] 함수

1. 함수의 정의

이산수학에서 함수의 정의는 아래와 같습니다.

 

이를 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

1) 상수함수와 항등함수

함수의 상등이란 아래를 만족하는 것을 의미합니다.

 

2. 전사, 단사, 역함수, 합성함수

1) 전사함수

전사 함수란 공역과 치역이 같은 경우를 의미합니다.

공역은 치역의 부분 집합인데
치역이 가장 커질 수 있는 경우가 공역과 치역이 같은 경우입니다.

 

쉽게 말해서 X의 집합의 전체를 Y의 부분집합 전체에 보낸다고 생각하시면 됩니다.

 

이를 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

구체적으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

2) 단사함수

단사 함수의 정의는 아래와 같습니다.

 

즉 X집합에 있는 임의의 원소 x에 대해 f(x)는 모두 달라야 한다는 뜻입니다.

구체적인 예는 아래와 같습니다.

3) 전단사 함수

전단사 함수는 말 그대로 전사이면서 단사인 함수를 의미합니다.

전단사 함수는 역함수가 존재하며 동일하게 전단사 함수가 됩니다.

 

4) 역함수

역함수의 정의는 아래와 같습니다.

 

예제)

5) 합성함수

합성함수의 정의는 아래와 같습니다.

 

이를 그림으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

이 때 두 함수 f,g가 전사함수라면 f,g의 합성함수도 전사함수입니다. 또한 f,g가 단사함수라면 합성함수도 단사함수가 됩니다.

 

합성함수의 성질로는 아래와 같은 것들이 있습니다.

즉 교환법칙은 성립되지 않지만 결합법칙은 성립합니다.

 

또한 항등함수와 합성함수는 아래 법칙이 성립합니다.

 

그리고 역함수와 합성함수는 아래 법칙이 성립합니다.

3. 함수의 종류

1) 계승함수

n이 음수가 아닌 정수 일 때 계승함수는 아래와 같습니다.

2) 바닥함수

바닥함수란 실수x에 대해, x보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수를 구하는 함수입니다.

바닥함수의 성질은 아래와 같습니다.

3) 천장함수

천장함수는 바닥함수와 반대로 실수 x에 대해 x보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수를 구하는 함수입니다.

천장함수의 성질은 아래와 같습니다.

4) 바닥함수와 천장함수의 그래프 표현

5) 나머지 함수

정수 n과 양의 정수 m에 대해 n을 m으로 나누었을 때의 나머지를 구하는 함수입니다.

표현은 n mod m으로 표현하며 아래처럼 계산합니다.